Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình dưới đây.
Bất phương trình $3f\left( x \right)\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;3 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m>3f\left( 3 \right)$.
B. $m\ge 3f\left( 3 \right)$.
C. $m>3f\left( -1 \right)+4$.
D. $m\ge 3f\left( -1 \right)+4$.
Ta có: $3f\left( x \right)\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow 3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\le m$ với mọi $x\in \left( -1;3 \right)$.
Xét $g\left( x \right)=3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ với $x\in \left( -1;3 \right)$
Khi đó : ${g}'\left( x \right)=3{f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}+6x=3\left[ {f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x \right]$
Nghiệm của phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ là hoành độ giao điểm của đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ và parabol $y={{x}^{2}}-2x$.
Phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm $x=-1;x=3;x=1$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$.
$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ 3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]=3f\left( -1 \right)+4$
$\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left[ 3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]=3f\left( 3 \right)$
Ta có bảng biến thiên sau :
Bất phương trình $3f\left( x \right)\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;3 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge g\left( x \right),\forall x\in \left( -1;3 \right)\Leftrightarrow m\ge 3f\left( -1 \right)+4$.
A. $m>3f\left( 3 \right)$.
B. $m\ge 3f\left( 3 \right)$.
C. $m>3f\left( -1 \right)+4$.
D. $m\ge 3f\left( -1 \right)+4$.
Ta có: $3f\left( x \right)\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow 3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\le m$ với mọi $x\in \left( -1;3 \right)$.
Xét $g\left( x \right)=3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ với $x\in \left( -1;3 \right)$
Khi đó : ${g}'\left( x \right)=3{f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}+6x=3\left[ {f}'\left( x \right)-{{x}^{2}}+2x \right]$
Nghiệm của phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ là hoành độ giao điểm của đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ và parabol $y={{x}^{2}}-2x$.
Phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có ba nghiệm $x=-1;x=3;x=1$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$.
$\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ 3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]=3f\left( -1 \right)+4$
$\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }} \left[ 3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]=3f\left( 3 \right)$
Ta có bảng biến thiên sau :
Bất phương trình $3f\left( x \right)\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;3 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge g\left( x \right),\forall x\in \left( -1;3 \right)\Leftrightarrow m\ge 3f\left( -1 \right)+4$.
Đáp án D.