Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Bất phương trình $3f\left( x \right)\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;3 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge 3f\left( 3 \right)$
B. $m>3f\left( 3 \right)$
C. $m\ge 3f\left( -1 \right)+4$
D. $m>3f\left( -1 \right)+4$
A. $m\ge 3f\left( 3 \right)$
B. $m>3f\left( 3 \right)$
C. $m\ge 3f\left( -1 \right)+4$
D. $m>3f\left( -1 \right)+4$
Ta có $3f\left( x \right)\le {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m\Leftrightarrow m\ge 3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ $\left( * \right)$ với $\forall x\in \left( -1;3 \right)$.
Xét $g\left( x \right)=3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ trên $\left( -1;3 \right)$.
Ta có ${g}'(x)=3{f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}+6x=3\left[ {f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}-2x \right) \right]$.
Xét đổ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={{x}^{2}}-2x$ với $x\in \left( -1;3 \right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ như sau:
Nhận thấy trên $\left( -1;3 \right)$ thì ${f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}-2x \right)\le 0$ nên ${g}'\left( x \right)\le 0$ trên $\left( -1;3 \right)$.
Ta có BBT của $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;3 \right)$ như sau
Xét $g\left( x \right)=3f\left( x \right)-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}$ trên $\left( -1;3 \right)$.
Ta có ${g}'(x)=3{f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}+6x=3\left[ {f}'\left( x \right)-\left( {{x}^{2}}-2x \right) \right]$.
Xét đổ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y={{x}^{2}}-2x$ với $x\in \left( -1;3 \right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ như sau:
Ta có BBT của $g\left( x \right)$ trên $\left( -1;3 \right)$ như sau
Đáp án C.