Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ cho như hình dưới đây. Đặt $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng.
A. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
C. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)$.
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right)$.
A. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
B. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
C. $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 3 \right)$.
D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right)$.
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-\left( 2x+2 \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x+1$. Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của ${f}'\left( x \right)$ và $y=x+1$ trên khoảng $\left( -3;3 \right)$ là $x=1$.
Vậy ta so sánh các giá trị $g\left( -3 \right)$, $g\left( 1 \right)$, $g\left( 3 \right)$
Xét $\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x>0$
$\Leftrightarrow g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>0\Leftrightarrow g\left( 1 \right)>g\left( -3 \right)$.
Tương tự xét $\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x<0$ $\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)<g\left( 1 \right)$.
Xét $\int\limits_{-3}^{3}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x+2\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x>0$
$\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( -3 \right)>0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right)$. Vậy ta có $g\left( 1 \right)>g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right)$.
Vậy $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-\left( 2x+2 \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x+1$. Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của ${f}'\left( x \right)$ và $y=x+1$ trên khoảng $\left( -3;3 \right)$ là $x=1$.
Vậy ta so sánh các giá trị $g\left( -3 \right)$, $g\left( 1 \right)$, $g\left( 3 \right)$
Xét $\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x>0$
$\Leftrightarrow g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>0\Leftrightarrow g\left( 1 \right)>g\left( -3 \right)$.
Tương tự xét $\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x<0$ $\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)<g\left( 1 \right)$.
Xét $\int\limits_{-3}^{3}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x+2\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x>0$
$\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( -3 \right)>0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right)$. Vậy ta có $g\left( 1 \right)>g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right)$.
Vậy $\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.
Đáp án B.