Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 1;4 \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right)=\dfrac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{4\ln x}{x}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}.$
A. $I=4{{\ln }^{2}}2$
B. $I=8{{\ln }^{2}}2$
C. $I=8\ln 2$
D. $I=4+2{{\ln }^{2}}2$
A. $I=4{{\ln }^{2}}2$
B. $I=8{{\ln }^{2}}2$
C. $I=8\ln 2$
D. $I=4+2{{\ln }^{2}}2$
Ta có $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}dx}+\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{4\ln x}{x}dx}=\int\limits_{1}^{4}{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)d\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}+4\int\limits_{1}^{4}{\ln xd\left( \ln x \right)}$
Bằng cách đặt $t=2\sqrt{x}-1$ ta có: ${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{4}{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)d\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}$
Suy ra: $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}+\left. 2{{\ln }^{2}}x \right|_{1}^{4}\Rightarrow \int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}=2{{\ln }^{2}}4=8{{\ln }^{2}}2.$
Bằng cách đặt $t=2\sqrt{x}-1$ ta có: ${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{4}{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)d\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}$
Suy ra: $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}+\left. 2{{\ln }^{2}}x \right|_{1}^{4}\Rightarrow \int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}=2{{\ln }^{2}}4=8{{\ln }^{2}}2.$
Đáp án B.