Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left( 0;+\infty \right),f\left( x \right)\ne 0$ với mọi $y=2\left( x-2 \right)+4=2x$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$ và ${f}'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{f}^{2}}\left( x \right),\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Biết $f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+...+f\left( 2019 \right)=\dfrac{a}{b}-1$, trong đó $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N},\left( a,b \right)=1$.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. $a-b=-2019$.
B. $a.b>2019$.
C. $2a+b=2022$.
D. $b\le 2020$.
Biết $f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+...+f\left( 2019 \right)=\dfrac{a}{b}-1$, trong đó $a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{N},\left( a,b \right)=1$.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. $a-b=-2019$.
B. $a.b>2019$.
C. $2a+b=2022$.
D. $b\le 2020$.
Với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$, ta có ${f}'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x+1\left( * \right)$.
Lấy nguyên hàm 2 vế $\left( * \right)$ ta được $-\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+x+C$.
Mà $f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$ nên $2={{1}^{2}}+1+C\Leftrightarrow C=0$.
Suy ra $-\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+x\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$. Do đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}-1 \\
& f\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \\
& ................ \\
& f\left( 2019 \right)=\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+...+f\left( 2019 \right)=\dfrac{1}{2}-1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019}=\dfrac{1}{2020}-1$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=2020 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a-b=-2019$.
Lấy nguyên hàm 2 vế $\left( * \right)$ ta được $-\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+x+C$.
Mà $f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}$ nên $2={{1}^{2}}+1+C\Leftrightarrow C=0$.
Suy ra $-\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+x\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}+x}=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x}$. Do đó:
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{2}-1 \\
& f\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2} \\
& ................ \\
& f\left( 2019 \right)=\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+...+f\left( 2019 \right)=\dfrac{1}{2}-1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2019}=\dfrac{1}{2020}-1$.
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=2020 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a-b=-2019$.
Đáp án A.