Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Ký hiệu $g\left( x \right)=f\left( 2\sqrt{2x}+\sqrt{1-x} \right)+m.$ Tìm điều kiện của tham số m sao cho $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\text{max} g\left( x \right)}} >2\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min g\left( x \right)}} .$
A. $m>4.$
B. $m<3.$
C. $0<m<5.$
D. $m<2.$
A. $m>4.$
B. $m<3.$
C. $0<m<5.$
D. $m<2.$
Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& 2x\ge 0 \\
& 1-x\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le x\le 1.$
Đặt $t=2\sqrt{2x}+\sqrt{1-x}\Rightarrow {{t}^{2}}=7x+1+4\sqrt{2x\left( 1-x \right)}\ge 1\Rightarrow t\ge 1.$
Lại có $t=2\sqrt{2x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{2}.\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\le \sqrt{\left[ {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+1 \right]\left[ {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{2}} \right]}=3.$
Khi đó $g\left( x \right)=f\left( t \right)+m$ với $t\in \left[ 1;3 \right].$ Dựa vào đồ thị ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{max} }} f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=5 \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{min} }} f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=1 \\
\end{aligned} \right..$
Ycbt $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{max} }} \left[ f\left( x \right)+m \right]\ge 2\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{min} }} \left[ f\left( x \right)+m \right]\Leftrightarrow 5+m>2\left( 1+m \right)\Leftrightarrow m<3.$
& 2x\ge 0 \\
& 1-x\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 0\le x\le 1.$
Đặt $t=2\sqrt{2x}+\sqrt{1-x}\Rightarrow {{t}^{2}}=7x+1+4\sqrt{2x\left( 1-x \right)}\ge 1\Rightarrow t\ge 1.$
Lại có $t=2\sqrt{2x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{2}.\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\le \sqrt{\left[ {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}+1 \right]\left[ {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{2}} \right]}=3.$
Khi đó $g\left( x \right)=f\left( t \right)+m$ với $t\in \left[ 1;3 \right].$ Dựa vào đồ thị ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{max} }} f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=5 \\
& \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{min} }} f\left( t \right)=f\left( 2 \right)=1 \\
\end{aligned} \right..$
Ycbt $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{max} }} \left[ f\left( x \right)+m \right]\ge 2\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\text{min} }} \left[ f\left( x \right)+m \right]\Leftrightarrow 5+m>2\left( 1+m \right)\Leftrightarrow m<3.$
Đáp án B.