Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left| \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}+x-\left| x \right|-m \right|,$ với m là tham số. Gọi a là giá trị nguyên nhỏ nhất của m để hàm số có ít điểm cực trị nhất ; A là giá trị nguyên lớn nhất của m để hàm số có nhiều điểm cực trị nhất. Giá trị của $A+a$ bằng
A. $-7.$
B. $-4.$
C. $-3.$
D. 4.
A. $-7.$
B. $-4.$
C. $-3.$
D. 4.
Xét hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}+x-\left| x \right|$ với $x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0;1 \right\}.$
${g}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+1-\dfrac{x}{\left| x \right|}.$
Nếu $x>0$ thì ${g}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$ Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( 0;1 \right),\left( 1;+\infty \right).$
Nếu $x<0$ thì ${g}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+2$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=2\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( 2x \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}.$
Đặt $t=2x-1\left( t<-1 \right)$ ta có: $\dfrac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 4\left( {{t}^{2}}+1 \right)={{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{t}^{4}}-6{{t}^{2}}-3\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3+2\sqrt{3}\Rightarrow t=-\sqrt{3+2\sqrt{3}}.$
Do đó, $x=\dfrac{1-\sqrt{3+2\sqrt{3}}}{2}={{x}_{0}},-4<g\left( {{x}_{0}} \right)<-3.$
Ta có bảng biến thiên:
Hàm số $y=g\left( x \right)$ có 1 điểm cực trị.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại nhiều điểm nhất là 3 điểm khi $m<g\left( {{x}_{0}} \right).$ Giá trị nguyên lớn nhất của m thỏa mãn là $m=-4.$ Khi đó, hàm số $y=f\left( x \right)$ có nhiều điểm cực trị nhất là 4 điểm.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại ít điểm nhất là 1 điểm khi $g\left( {{x}_{0}} \right)<m\le 0.$ Giá trị nguyên nhỏ nhất của m thỏa mãn là $m=-3.$ Khi đó, hàm số $y=f\left( x \right)$ có ít điểm cực trị nhất là 2 điểm.
Vậy $A+a=-7.$
${g}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+1-\dfrac{x}{\left| x \right|}.$
Nếu $x>0$ thì ${g}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right).$ Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( 0;1 \right),\left( 1;+\infty \right).$
Nếu $x<0$ thì ${g}'\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+2$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=2\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( 2x \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}.$
Đặt $t=2x-1\left( t<-1 \right)$ ta có: $\dfrac{1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 4\left( {{t}^{2}}+1 \right)={{\left( {{t}^{2}}-1 \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{t}^{4}}-6{{t}^{2}}-3\Leftrightarrow {{t}^{2}}=3+2\sqrt{3}\Rightarrow t=-\sqrt{3+2\sqrt{3}}.$
Do đó, $x=\dfrac{1-\sqrt{3+2\sqrt{3}}}{2}={{x}_{0}},-4<g\left( {{x}_{0}} \right)<-3.$
Ta có bảng biến thiên:
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại nhiều điểm nhất là 3 điểm khi $m<g\left( {{x}_{0}} \right).$ Giá trị nguyên lớn nhất của m thỏa mãn là $m=-4.$ Khi đó, hàm số $y=f\left( x \right)$ có nhiều điểm cực trị nhất là 4 điểm.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ tại ít điểm nhất là 1 điểm khi $g\left( {{x}_{0}} \right)<m\le 0.$ Giá trị nguyên nhỏ nhất của m thỏa mãn là $m=-3.$ Khi đó, hàm số $y=f\left( x \right)$ có ít điểm cực trị nhất là 2 điểm.
Vậy $A+a=-7.$
Đáp án A.