Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 4x\quad \text{khi}\ x>2 \\
& -2x+12\quad \text{khi}\ x\le 2 \\
\end{aligned} \right. $. Tính tích phân $ I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{x.f(\sqrt{{{x}^{2}}+1})}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}+4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}$.
A. $I=309$.
B. $I=159$.
C. $I=\dfrac{309}{2}$.
D. $I=9+150\ln \dfrac{3}{2}$.
& 4x\quad \text{khi}\ x>2 \\
& -2x+12\quad \text{khi}\ x\le 2 \\
\end{aligned} \right. $. Tính tích phân $ I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{x.f(\sqrt{{{x}^{2}}+1})}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}+4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}$.
A. $I=309$.
B. $I=159$.
C. $I=\dfrac{309}{2}$.
D. $I=9+150\ln \dfrac{3}{2}$.
+ Xét tích phân: ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{x.f(\sqrt{{{x}^{2}}+1})}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}$.
Đặt: $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow dt=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx$.
Đổi cận: với $x=0$ thì $t=1$, với $x=\sqrt{3}$ thì $t=2$.
${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{x.f(\sqrt{{{x}^{2}}+1})}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{f(t)dt}=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{(-2x+12)dx}=\left. (-{{x}^{2}}+12x) \right|_{1}^{2}=9$
+ Xét tích phân: ${{I}_{2}}=4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}$.
Đặt: $t=1+{{e}^{2x}}\Rightarrow dt=2{{e}^{2x}}dx$.
Đổi cận: với $x=\ln 2$ thì $t=5$, với $x=\ln 3$ thì $t=10$.
${{I}_{2}}=4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}=2\int\limits_{5}^{10}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{5}^{10}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{5}^{10}{4xdx}=\left. 4{{x}^{2}} \right|_{5}^{10}=300$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{x.f(\sqrt{{{x}^{2}}+1})}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}+4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}=309$
Đặt: $t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow dt=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx$.
Đổi cận: với $x=0$ thì $t=1$, với $x=\sqrt{3}$ thì $t=2$.
${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{x.f(\sqrt{{{x}^{2}}+1})}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{f(t)dt}=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{(-2x+12)dx}=\left. (-{{x}^{2}}+12x) \right|_{1}^{2}=9$
+ Xét tích phân: ${{I}_{2}}=4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}$.
Đặt: $t=1+{{e}^{2x}}\Rightarrow dt=2{{e}^{2x}}dx$.
Đổi cận: với $x=\ln 2$ thì $t=5$, với $x=\ln 3$ thì $t=10$.
${{I}_{2}}=4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}=2\int\limits_{5}^{10}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{5}^{10}{f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{5}^{10}{4xdx}=\left. 4{{x}^{2}} \right|_{5}^{10}=300$
Vậy $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\dfrac{x.f(\sqrt{{{x}^{2}}+1})}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}dx}+4\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}=309$
Đáp án A.