Google
Câu hỏi: Cho hàm số: $y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\left( ax+1 \right)\sqrt{bx+1}-1}{x},x\ne 0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}},\text{ }x=0 \\
\end{aligned} \right. $. Khi hàm số liên tục tại $ x=0 $ thì giá trị lớn nhất của $ P=2a+4b+5$ bằng bao nhiêu?
A. 5.
B. $\dfrac{9}{2}$.
C. $\dfrac{19}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$.
& \dfrac{\left( ax+1 \right)\sqrt{bx+1}-1}{x},x\ne 0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}},\text{ }x=0 \\
\end{aligned} \right. $. Khi hàm số liên tục tại $ x=0 $ thì giá trị lớn nhất của $ P=2a+4b+5$ bằng bao nhiêu?
A. 5.
B. $\dfrac{9}{2}$.
C. $\dfrac{19}{2}$.
D. $\dfrac{\sqrt{5}}{4}$.
Với $x\ne 0\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{\left( \text{ax}+1 \right)\sqrt{bx+1}-1}{x}=\dfrac{\left( {{a}^{2}}{{x}^{2}}+2ax \right)b+{{a}^{2}}x+2a+b}{\left( \text{ax}+1 \right)\sqrt{bx+1}+1}$
Hàm số liên tục tại $x=0\Leftrightarrow f\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=a+\dfrac{1}{2}b$
$\Leftrightarrow {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{16}$
$P=2a+4b+5\Rightarrow P-7=2\left( a-\dfrac{1}{2} \right)+4\left( b-\dfrac{1}{4} \right)$
$\Rightarrow {{\left( P-7 \right)}^{2}}={{\left[ 2\left( a-\dfrac{1}{2} \right)+4\left( b-\dfrac{1}{4} \right) \right]}^{2}}\le 20\left[ {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}} \right]=\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow \dfrac{9}{2}\le P\le \dfrac{19}{2}$
Vậy ${{P}_{\text{max}}}=\dfrac{19}{2}$
Hàm số liên tục tại $x=0\Leftrightarrow f\left( 0 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=a+\dfrac{1}{2}b$
$\Leftrightarrow {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}}=\dfrac{5}{16}$
$P=2a+4b+5\Rightarrow P-7=2\left( a-\dfrac{1}{2} \right)+4\left( b-\dfrac{1}{4} \right)$
$\Rightarrow {{\left( P-7 \right)}^{2}}={{\left[ 2\left( a-\dfrac{1}{2} \right)+4\left( b-\dfrac{1}{4} \right) \right]}^{2}}\le 20\left[ {{\left( a-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\dfrac{1}{4} \right)}^{2}} \right]=\dfrac{25}{4}\Leftrightarrow \dfrac{9}{2}\le P\le \dfrac{19}{2}$
Vậy ${{P}_{\text{max}}}=\dfrac{19}{2}$
Đáp án C.