Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2mx+3\text{ khi x}\le \text{1} \\
& nx+10\text{ khi x}\ge \text{1} \\
\end{aligned} \right. $, trong đó m và n là hai tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $ y=f\left( x \right)$ có đúng 2 điểm cực trị?
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. vô số.
& {{x}^{2}}-2mx+3\text{ khi x}\le \text{1} \\
& nx+10\text{ khi x}\ge \text{1} \\
\end{aligned} \right. $, trong đó m và n là hai tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $ y=f\left( x \right)$ có đúng 2 điểm cực trị?
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. vô số.
Ta có: ${f}'\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned}
& 2x-2m\text{ khi x1} \\
& n\text{ khi x1} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ${f}'\left( {{1}^{-}} \right)=2-2m,{f}'\left( {{1}^{+}} \right)=n$, để hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng 2 điểm cực trị thì hàm số phải liên tục tại điểm $x=1$ và đạt cực trị tại điểm $x=m$ và $x=1$.
Điều kiện liên tục: $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop \lim } f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop \lim } f\left( x \right)\Leftrightarrow 4-2m=n+10\Leftrightarrow 2m+n=-6$
Điều kiện hàm số đạt cực trị tại điểm $x=m$ và $x=1$ là $\left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& \left( 2-2m \right)n<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& n<0 \\
\end{aligned} \right.$
Lại có $n=-6-2m<0\Leftrightarrow 2m>-6\Leftrightarrow m>-3$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0 \right\}.$
& 2x-2m\text{ khi x1} \\
& n\text{ khi x1} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó ${f}'\left( {{1}^{-}} \right)=2-2m,{f}'\left( {{1}^{+}} \right)=n$, để hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng 2 điểm cực trị thì hàm số phải liên tục tại điểm $x=1$ và đạt cực trị tại điểm $x=m$ và $x=1$.
Điều kiện liên tục: $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop \lim } f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop \lim } f\left( x \right)\Leftrightarrow 4-2m=n+10\Leftrightarrow 2m+n=-6$
Điều kiện hàm số đạt cực trị tại điểm $x=m$ và $x=1$ là $\left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& \left( 2-2m \right)n<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<1 \\
& n<0 \\
\end{aligned} \right.$
Lại có $n=-6-2m<0\Leftrightarrow 2m>-6\Leftrightarrow m>-3$
Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -2;-1;0 \right\}.$
Đáp án B.