Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm lẻ liên tục trên $\left[ -4;4 \right],$ biết $\int\limits_{-2}^{0}{f\left( -x \right)dx}=2$ và $\int\limits_{1}^{2}{f\left( -2x \right)dx}=4.$ Tính $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx}.$
A. $I=-10.$
B. $I=-6.$
C. $I=6.$
D. $I=10.$
A. $I=-10.$
B. $I=-6.$
C. $I=6.$
D. $I=10.$
HD: Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$ suy ra $\int\limits_{-2}^{0}{f\left( -x \right)dx}=\int\limits_{2}^{0}{f\left( t \right)\left( -dt \right)}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2.$
Do hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm lẻ nên hàm $y=f\left( -2x \right)$ cũng là hàm số lẻ.
Ta có: $f\left( -2x \right)=-f\left( 2x \right)\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( -2x \right)dx}=-\int\limits_{1}^{2}{f\left( 2x \right)dx}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( 2x \right)dx}=-4.$
Đặt $u=2x\Rightarrow du=2dx\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( 2x \right)dx}=\int\limits_{2}^{4}{f\left( u \right).\dfrac{du}{2}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}=-4\Rightarrow \int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}=-8.$
Do đó $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}=2-8=-6.$
Do hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm lẻ nên hàm $y=f\left( -2x \right)$ cũng là hàm số lẻ.
Ta có: $f\left( -2x \right)=-f\left( 2x \right)\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( -2x \right)dx}=-\int\limits_{1}^{2}{f\left( 2x \right)dx}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( 2x \right)dx}=-4.$
Đặt $u=2x\Rightarrow du=2dx\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( 2x \right)dx}=\int\limits_{2}^{4}{f\left( u \right).\dfrac{du}{2}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}=-4\Rightarrow \int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}=-8.$
Do đó $I=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)dx}=2-8=-6.$
Đáp án B.