Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ không âm và có đạo hàm trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{4} \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right)}{\cos x}$. Biết $f\left( 0 \right)=1$, giá trị của $f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)$ là
A. ${{e}^{2x}}$
B. ${{e}^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}$
C. $\ln \left( e-1 \right)$
D. ${{e}^{2-\pi }}$
A. ${{e}^{2x}}$
B. ${{e}^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}$
C. $\ln \left( e-1 \right)$
D. ${{e}^{2-\pi }}$
Ta có $\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\cos x\Rightarrow \int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\cos xdx}}$
$\Rightarrow \ln \left. t \right|_{f\left( 0 \right)}^{f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \ln f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)={{e}^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}$
$\Rightarrow \ln \left. t \right|_{f\left( 0 \right)}^{f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \ln f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{4} \right)={{e}^{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}$
Đáp án B.