Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{e}^{-x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -3;3 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( -3 \right)-{{e}^{3}}$
B. $m<f\left( 3 \right)-\dfrac{1}{{{e}^{3}}}$
C. $m\le f\left( 3 \right)-\dfrac{1}{{{e}^{3}}}$
D. $m<f\left( -3 \right)-{{e}^{3}}$
Bất phương trình $f\left( x \right)>{{e}^{-x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( -3;3 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( -3 \right)-{{e}^{3}}$
B. $m<f\left( 3 \right)-\dfrac{1}{{{e}^{3}}}$
C. $m\le f\left( 3 \right)-\dfrac{1}{{{e}^{3}}}$
D. $m<f\left( -3 \right)-{{e}^{3}}$
Ta có: $f(x)>{{e}^{-x}}+m , \forall x\in \left( -3;3 \right)\Leftrightarrow f(x)-{{e}^{-x}}>m \forall x\in \left( -3;3 \right)\text{ (*)}$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)-{{e}^{-x}}$
Ta có: ${g}'(x)={f}'(x)+{{e}^{-x}}$.
Ta thấy với $\forall x\in \left( -3;3 \right)$ thì ${f}'(x)>0$, ${{e}^{-x}}>0$ nên ${g}'(x)={f}'(x)+{{e}^{-x}}>0$, $\forall x\in \left( -3;3 \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $m\le g(-3)\Leftrightarrow m\le f(-3)-{{e}^{3}}$.
Xét hàm số $g(x)=f(x)-{{e}^{-x}}$
Ta có: ${g}'(x)={f}'(x)+{{e}^{-x}}$.
Ta thấy với $\forall x\in \left( -3;3 \right)$ thì ${f}'(x)>0$, ${{e}^{-x}}>0$ nên ${g}'(x)={f}'(x)+{{e}^{-x}}>0$, $\forall x\in \left( -3;3 \right)$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $m\le g(-3)\Leftrightarrow m\le f(-3)-{{e}^{3}}$.
Đáp án A.