Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ
Bất phương trình $f\left( x \right)<4{{e}^{x+1}}+m$ có nghiệm $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( -1 \right)-4$.
B. $m\le f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$.
C. $m<f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$.
D. $m>f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$.
Bất phương trình $f\left( x \right)<4{{e}^{x+1}}+m$ có nghiệm $x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( -1 \right)-4$.
B. $m\le f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$.
C. $m<f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$.
D. $m>f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$.
Ta có: $f\left( x \right)<4{{e}^{x+1}}+m\Leftrightarrow m>f\left( x \right)-4{{e}^{x+1}}=g\left( x \right)$
Mặt khác ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-4{{e}^{x+1}}$, với $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le 4 \\
& -4{{e}^{x+1}}\in \left( -4{{e}^{2}};-4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${g}'\left( x \right)\le 4-4=0$ suy ra hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$
Khi đó bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ là
Suy ra phương trình $m>f\left( x \right)-4{{e}^{x+1}}$ có nghiệm $\Leftrightarrow m>g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m>f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$
Mặt khác ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-4{{e}^{x+1}}$, với $x\in \left( -1;1 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)\le 4 \\
& -4{{e}^{x+1}}\in \left( -4{{e}^{2}};-4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó ${g}'\left( x \right)\le 4-4=0$ suy ra hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$
Khi đó bảng biến thiên của $g\left( x \right)$ là
Suy ra phương trình $m>f\left( x \right)-4{{e}^{x+1}}$ có nghiệm $\Leftrightarrow m>g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m>f\left( 1 \right)-4{{e}^{2}}$
Đáp án D.