Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right),$ hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới:
Bất phương trình $f\left( x \right)<x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 2 \right)-2.$
B. $m\ge f\left( 0 \right).$
C. $m>f\left( 2 \right)-2.$
D. $m>f\left( 0 \right).$
A. $m\ge f\left( 2 \right)-2.$
B. $m\ge f\left( 0 \right).$
C. $m>f\left( 2 \right)-2.$
D. $m>f\left( 0 \right).$
$f\left( x \right)<x+m\Leftrightarrow f\left( x \right)-x<m.$ Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ xét trên khoảng $\left( 0;2 \right).$
${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1.$ Từ đồ thị ta thấy ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1<0$ với mọi $x\in \left( 0;2 \right).$ Suy ra hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right).$
Bất phương trình $f\left( x \right)<x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right).$
Chú ý.
- $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
- $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
- $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\le \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
- $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\le \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1.$ Từ đồ thị ta thấy ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1<0$ với mọi $x\in \left( 0;2 \right).$ Suy ra hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ luôn nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right).$
Bất phương trình $f\left( x \right)<x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;2 \right)$ khi và chỉ khi $m\ge \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right).$
Chú ý.
- $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
- $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
- $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\le \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
- $m<g\left( x \right),\forall x\in \left( a;b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a;b \right)$ $\Leftrightarrow m\le \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right).$
Đáp án B.