Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$ có ba điểm cực trị?
A. $4.$
B. $3.$
C. $2.$
D. $1.$
B. $3.$
C. $2.$
D. $1.$
Cách 1: Ta có ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}-m=0 \\
{{x}^{2}}-m=2 \\
{{x}^{2}}-m=4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}=m \\
{{x}^{2}}=m+2 \\
{{x}^{2}}=m+4 \\
\end{array} \right.$
Từ đồ thị ta thấy
${f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)>0\Leftrightarrow 0<{{x}^{2}}-m<4\Leftrightarrow m<{{x}^{2}}<m+4$.
${f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-m<0 \\
{{x}^{2}}>m+4 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}<m \\
{{x}^{2}}>m+4 \\
\end{matrix} \right.$
TH1: Với$$ $m\le -4$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
Suy ra hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$ không thể có ba cực trị.
TH2: Với $-4<m\le -2$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{m+4} \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có $3$ cực trị
TH3: Với $-2<m\le 0$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{m+2} \\
x=\pm \sqrt{m+4} \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$
Từ bảng trên suy ra hàm số có $3$ cực trị.
TH4: Với $m>0$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{m} \\
x=\pm \sqrt{m+2} \\
x=\pm \sqrt{m+4} \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
Từ bảng trên suy ra hàm số có 5 cực trị.
Từ các trường hợp trên, hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$ có ba cực trị khi $m\in \left( -4;0 \right]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$.
Cách 2:
Ta có ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}-m=0 \\
{{x}^{2}}-m=2 \\
{{x}^{2}}-m=4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}=m \\
{{x}^{2}}=m+2 \\
{{x}^{2}}=m+4 \\
\end{array} \right..$
Dễ thấy $x=0$ là nghiệm bội lẻ của phương trình ${y}'=0\Rightarrow x=0$ là $1$ điểm cực trị của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
${{x}^{2}}=m+2$ là nghiệm bội chẵn của phương trình ${y}'=0$.
Mặt khác $m<m+4\text{ }\forall m$ nên hai phương trình ${{x}^{2}}=m$ $\left( 1 \right)$ và ${{x}^{2}}=m+4$ $\left( 2 \right)$ không có nghiệm trùng nhau.
Vậy để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$ có $3$ điểm cực trị thì $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$ đồng thời $\left( 1 \right)$ vô nghiệm hoặc $\left( 1 \right)$ có 1 nghiệm kép bằng $0$ $\Rightarrow $ $-4<m\le 0\Rightarrow \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}-m=0 \\
{{x}^{2}}-m=2 \\
{{x}^{2}}-m=4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}=m \\
{{x}^{2}}=m+2 \\
{{x}^{2}}=m+4 \\
\end{array} \right.$
Từ đồ thị ta thấy
${f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)>0\Leftrightarrow 0<{{x}^{2}}-m<4\Leftrightarrow m<{{x}^{2}}<m+4$.
${f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}-m<0 \\
{{x}^{2}}>m+4 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
{{x}^{2}}<m \\
{{x}^{2}}>m+4 \\
\end{matrix} \right.$
TH1: Với$$ $m\le -4$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
Suy ra hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$ không thể có ba cực trị.
TH2: Với $-4<m\le -2$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{m+4} \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có $3$ cực trị
TH3: Với $-2<m\le 0$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{m+2} \\
x=\pm \sqrt{m+4} \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$
Từ bảng trên suy ra hàm số có $3$ cực trị.
TH4: Với $m>0$.
${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=\pm \sqrt{m} \\
x=\pm \sqrt{m+2} \\
x=\pm \sqrt{m+4} \\
\end{array} \right.$.
Bảng xét dấu của ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
Từ bảng trên suy ra hàm số có 5 cực trị.
Từ các trường hợp trên, hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$ có ba cực trị khi $m\in \left( -4;0 \right]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$.
Cách 2:
Ta có ${y}'=2x.{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{f}'\left( {{x}^{2}}-m \right)=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}-m=0 \\
{{x}^{2}}-m=2 \\
{{x}^{2}}-m=4 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
{{x}^{2}}=m \\
{{x}^{2}}=m+2 \\
{{x}^{2}}=m+4 \\
\end{array} \right..$
Dễ thấy $x=0$ là nghiệm bội lẻ của phương trình ${y}'=0\Rightarrow x=0$ là $1$ điểm cực trị của hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$.
${{x}^{2}}=m+2$ là nghiệm bội chẵn của phương trình ${y}'=0$.
Mặt khác $m<m+4\text{ }\forall m$ nên hai phương trình ${{x}^{2}}=m$ $\left( 1 \right)$ và ${{x}^{2}}=m+4$ $\left( 2 \right)$ không có nghiệm trùng nhau.
Vậy để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-m \right)$ có $3$ điểm cực trị thì $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$ đồng thời $\left( 1 \right)$ vô nghiệm hoặc $\left( 1 \right)$ có 1 nghiệm kép bằng $0$ $\Rightarrow $ $-4<m\le 0\Rightarrow \left\{ -3;-2;-1;0 \right\}$.
Đáp án A.