Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình $f\left( {{e}^{x}} \right)<{{e}^{2x}}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( \ln 2;\ln 4 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge f\left( 2 \right)-4.$
B. $m\ge f\left( 4 \right)-16.$
C. $m>f\left( 2 \right)-4.$
D. $m>f\left( 4 \right)-16.$
A. $m\ge f\left( 2 \right)-4.$
B. $m\ge f\left( 4 \right)-16.$
C. $m>f\left( 2 \right)-4.$
D. $m>f\left( 4 \right)-16.$
$f\left( {{e}^{x}} \right)<{{e}^{2x}}+m\Leftrightarrow m>f\left( {{e}^{x}} \right)-{{e}^{2x}}$.
Đặt $u={{e}^{x}}$. Ta có $x\in \left( \ln 2;\ln 4 \right)\Leftrightarrow u\in \left( 2;4 \right)$.
Xét $g\left( u \right)=f\left( u \right)-{{u}^{2}}$, $u\in \left( 2;4 \right)$. Ta có ${g}'\left( u \right)={f}'\left( u \right)-2u$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ suy ra ${f}'\left( u \right)<4$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$.
Mặt khác $2u>4$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$. Do đó ${g}'\left( u \right)={f}'\left( u \right)-2u<0$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( u \right)$ trên $\left( 2;4 \right)$.
Từ BBT suy ra: $g\left( u \right)<g\left( 2 \right)$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$.
Vậy $f\left( {{e}^{x}} \right)<{{e}^{2x}}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( \ln 2;\ln 4 \right)\Leftrightarrow $ $m>f\left( {{e}^{x}} \right)-{{e}^{2x}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( \ln 2;\ln 4 \right)$
$\Leftrightarrow m>g\left( u \right)$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$ $\Leftrightarrow m\ge g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 2 \right)-4$.
Đặt $u={{e}^{x}}$. Ta có $x\in \left( \ln 2;\ln 4 \right)\Leftrightarrow u\in \left( 2;4 \right)$.
Xét $g\left( u \right)=f\left( u \right)-{{u}^{2}}$, $u\in \left( 2;4 \right)$. Ta có ${g}'\left( u \right)={f}'\left( u \right)-2u$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ suy ra ${f}'\left( u \right)<4$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$.
Mặt khác $2u>4$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$. Do đó ${g}'\left( u \right)={f}'\left( u \right)-2u<0$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$.
Bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( u \right)$ trên $\left( 2;4 \right)$.
Vậy $f\left( {{e}^{x}} \right)<{{e}^{2x}}+m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( \ln 2;\ln 4 \right)\Leftrightarrow $ $m>f\left( {{e}^{x}} \right)-{{e}^{2x}}$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( \ln 2;\ln 4 \right)$
$\Leftrightarrow m>g\left( u \right)$, $\forall u\in \left( 2;4 \right)$ $\Leftrightarrow m\ge g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 2 \right)-4$.
Đáp án A.