Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Bất phương trình ${{e}^{f\left( x \right)}}+x>m+\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)$ có nghiệm trên khoảng $\left( -2;2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m<{{e}^{f\left( 2 \right)}}+2-\ln 5$
B. $m\le {{e}^{f\left( -2 \right)}}-2-\ln 5$
C. $m<{{e}^{f\left( -2 \right)}}-2-\ln 5$
D. $m\le {{e}^{f\left( 2 \right)}}+2-\ln 5$
A. $m<{{e}^{f\left( 2 \right)}}+2-\ln 5$
B. $m\le {{e}^{f\left( -2 \right)}}-2-\ln 5$
C. $m<{{e}^{f\left( -2 \right)}}-2-\ln 5$
D. $m\le {{e}^{f\left( 2 \right)}}+2-\ln 5$
Bất phương trình tương đương: $m<{{e}^{f\left( x \right)}}+x-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)=g\left( x \right)$ có nghiệm trên khoảng $\left( -2;2 \right)\left( * \right)$
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+1-\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}=f'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}+\dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}$
Từ bảng xét dấu của: $f'\left( x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -2;2 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -2;2 \right)$
Khi đó $g\left( -2 \right)<g\left( x \right)<g\left( 2 \right)\xrightarrow{\left( * \right)}m<g\left( 2 \right)={{e}^{f\left( x \right)}}+2-\ln 5$
Ta có: $g'\left( x \right)=f'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}+1-\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}=f'\left( x \right).{{e}^{f\left( x \right)}}+\dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}$
Từ bảng xét dấu của: $f'\left( x \right)\Rightarrow f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -2;2 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( -2;2 \right)$
Khi đó $g\left( -2 \right)<g\left( x \right)<g\left( 2 \right)\xrightarrow{\left( * \right)}m<g\left( 2 \right)={{e}^{f\left( x \right)}}+2-\ln 5$
Đáp án A.