Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $y={f}'\left( x...

Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-2{{m}^{2}}x+m-1$ có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-2{{m}^{2}}$.
Do hàm số $y==f\left( x \right)$ có điểm cực tiểu là $\left( -3; 5 \right)$ nên ta có $f\left( -3 \right)=5$.
Để hàm số $y=\left| g\left( x \right) \right|$ đồng biến trên khoảng $\left( -3; 0 \right)$ thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)\ge 0 \\
& g\left( -3 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)-2{{m}^{2}}\ge 0 \\
& f\left( -3 \right)+6{{m}^{2}}+m-1\ge 0 \\
\end{aligned} \right., \forall x\in \left( -3;0 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}\le {f}'\left( x \right) \\
& 6{{m}^{2}}+m+4\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}\le 0 \\
& 6{{m}^{2}}+m+4\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=0$
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& {g}'\left( x \right)\le 0 \\
& g\left( -3 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)-2{{m}^{2}}\le 0 \\
& f\left( -3 \right)+6{{m}^{2}}+m-1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2{{m}^{2}}\ge {f}'\left( x \right) \\
& 6{{m}^{2}}+m+4\le 0 \\
\end{aligned} \right.$
Do $6{{m}^{2}}+m+4>0, \forall m$ nên trường hợp 2 không thỏa mãn.
Kết hợp điều kiện $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in \left[ 0; 23 \right]$ suy ra $m\in \left\{ 0 \right\}$.
Vậy có $1$ giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.