Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -100;100 \right]$ để hàm số $h\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x+2 \right)+4f\left( x+2 \right)+3m \right|$ có đúng 3 điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
A. 5047
B. 5049
C. 5050
D. 5043
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -100;100 \right]$ để hàm số $h\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x+2 \right)+4f\left( x+2 \right)+3m \right|$ có đúng 3 điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
A. 5047
B. 5049
C. 5050
D. 5043
HD: Xét hàm số $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+3m$, có $g'\left( x \right)=2f\left( x \right).f'\left( x \right)+4f'\left( x \right);$
Do đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right).\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vì hàm số $f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị $\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm; $f\left( x \right)=-2$ có một nghiệm
Suy ra $h\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ vô nghiệm ${\Leftrightarrow }'=4-3m<0\Leftrightarrow m>\dfrac{4}{3}$
Kết hợp với $m\in \left[ -100;100 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 1;2;...;100 \right\}$. Vậy $\sum{m}=5050.$
Do đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right).\left[ f\left( x \right)+2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vì hàm số $f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị $\Rightarrow f'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm; $f\left( x \right)=-2$ có một nghiệm
Suy ra $h\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|$ có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow g\left( x \right)=0$ vô nghiệm ${\Leftrightarrow }'=4-3m<0\Leftrightarrow m>\dfrac{4}{3}$
Kết hợp với $m\in \left[ -100;100 \right]$ và $m\in \mathbb{Z}\xrightarrow{{}}m=\left\{ 1;2;...;100 \right\}$. Vậy $\sum{m}=5050.$
Đáp án C.
