Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Để đồ thị hàm số $h\left( x \right)=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|$ có điểm cực trị ít nhất thì giá trị nhỏ nhất của tham số $m={{m}_{0}}.$ Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. ${{m}_{0}}\in \left( 0;1 \right).$
B. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right).$
C. ${{m}_{0}}\in \left( -\infty ;-1 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 1;+\infty \right).$
A. ${{m}_{0}}\in \left( 0;1 \right).$
B. ${{m}_{0}}\in \left( -1;0 \right).$
C. ${{m}_{0}}\in \left( -\infty ;-1 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 1;+\infty \right).$
Phương pháp
Dựa vào đồ thị hàm số khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ sau đó xác định sự biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$ và chọn đáp án đúng.
Cách giải
Xét hàm số: $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right)={f}'\left( f \right)\left[ 2f\left( x \right)+1 \right]$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& 2f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=a\left( a<0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1 \right)={{f}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)+m>m \\
& g\left( 3 \right)={{f}^{2}}\left( 3 \right)+f\left( 3 \right)+m=m \\
& g\left( a \right)={{f}^{2}}\left( a \right)+f\left( a \right)+m=m-\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.
$\Rightarrow h\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|=\left| {{\left[ f\left( x \right)+\dfrac{1}{2} \right]}^{2}}+m-\dfrac{1}{4} \right|$ có điểm cực trị ít nhất là 3.
Đồ thị hàm số g(x) nằm phía trên Ox (kể cả trường hợp tiếp xúc với Ox)
$\Rightarrow m\ge \dfrac{1}{4}\Rightarrow {{m}_{0}}=\dfrac{1}{4}$
Dựa vào đồ thị hàm số khảo sát sự biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ sau đó xác định sự biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$ và chọn đáp án đúng.
Cách giải
Xét hàm số: $g\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2f\left( x \right).{f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right)={f}'\left( f \right)\left[ 2f\left( x \right)+1 \right]$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& 2f\left( x \right)=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. \\
& f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=a\left( a<0 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& g\left( 1 \right)={{f}^{2}}\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)+m>m \\
& g\left( 3 \right)={{f}^{2}}\left( 3 \right)+f\left( 3 \right)+m=m \\
& g\left( a \right)={{f}^{2}}\left( a \right)+f\left( a \right)+m=m-\dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.
$\Rightarrow h\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|=\left| {{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+m \right|=\left| {{\left[ f\left( x \right)+\dfrac{1}{2} \right]}^{2}}+m-\dfrac{1}{4} \right|$ có điểm cực trị ít nhất là 3.
Đồ thị hàm số g(x) nằm phía trên Ox (kể cả trường hợp tiếp xúc với Ox)
$\Rightarrow m\ge \dfrac{1}{4}\Rightarrow {{m}_{0}}=\dfrac{1}{4}$
Đáp án A.