Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $\dfrac{1}{3}f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+x=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$ ? 
A. 11.
B. 9.
C. 8.
D. 10.
A. 11.
B. 9.
C. 8.
D. 10.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}f\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+x$ trên $\left[ -2;2 \right]$
có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)}^{\prime }}.{f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+1=\dfrac{1}{6}{f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+1$
Với $x\in \left[ -2;2 \right]\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}+1\in \left[ 0;2 \right]$ mà hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;2 \right]$
$\Rightarrow {f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)\ge 0\Rightarrow {g}'\left( x \right)>1\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -2;2 \right)$
Suy ra $g\left( x \right)=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$ khi $g\left( -2 \right)\le m\le g\left( 2 \right)$
Lại có $g\left( -2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 0 \right)-2=-\dfrac{10}{3}$ ; $g\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 2 \right)+2=4$
Vậy $-\dfrac{10}{3}\le m\le 4$ mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 8 giá trị nguyên m cần tìm.
có ${g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)}^{\prime }}.{f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+1=\dfrac{1}{6}{f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)+1$
Với $x\in \left[ -2;2 \right]\Leftrightarrow \dfrac{x}{2}+1\in \left[ 0;2 \right]$ mà hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 0;2 \right]$
$\Rightarrow {f}'\left( \dfrac{x}{2}+1 \right)\ge 0\Rightarrow {g}'\left( x \right)>1\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm số đồng biến trên $\left( -2;2 \right)$
Suy ra $g\left( x \right)=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ -2;2 \right]$ khi $g\left( -2 \right)\le m\le g\left( 2 \right)$
Lại có $g\left( -2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 0 \right)-2=-\dfrac{10}{3}$ ; $g\left( 2 \right)=\dfrac{1}{3}f\left( 2 \right)+2=4$
Vậy $-\dfrac{10}{3}\le m\le 4$ mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 8 giá trị nguyên m cần tìm.
Đáp án C.