Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{48}+\dfrac{8\left( \sqrt{x+3}-2 \right)}{x-1}-m$, với $m$ là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để $g\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$ là
A. $m<\dfrac{f\left( 0 \right)}{48}+\dfrac{8}{\sqrt{3}+2}$.
B. $m\le \dfrac{f\left( 0 \right)}{48}+\dfrac{8}{\sqrt{3}+2}$.
C. $m\le \dfrac{f\left( 1 \right)}{48}+2$.
D. $m<\dfrac{f\left( 1 \right)}{48}+2$.
A. $m<\dfrac{f\left( 0 \right)}{48}+\dfrac{8}{\sqrt{3}+2}$.
B. $m\le \dfrac{f\left( 0 \right)}{48}+\dfrac{8}{\sqrt{3}+2}$.
C. $m\le \dfrac{f\left( 1 \right)}{48}+2$.
D. $m<\dfrac{f\left( 1 \right)}{48}+2$.
Có: $g'\left( x \right)=\dfrac{f'\left( x \right)}{48}+8\dfrac{-x-7+4\sqrt{x+3}}{2{{\left( x-1 \right)}^{2}}\sqrt{x+3}}$. Xét $h\left( x \right)=-x-7+4\sqrt{x+3}$ trên $\left( 0;1 \right)$
Ta có $h'\left( x \right)=-1+\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}\xrightarrow{h'\left( x \right)=0}\sqrt{x+3}=2\Leftrightarrow x=1$
Lập bảng biến thiên ta có:
Từ bảng biến thiên, ta suy ra $h\left( x \right)<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
Mặt khác dựa vào đồ thị $f\left( x \right)$ ta thấy $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $f'\left( x \right)<0$
Do đó $g'\left( x \right)=\underbrace{\dfrac{f'\left( x \right)}{48}}_{<0}+8.\underbrace{\dfrac{h\left( x \right)}{2{{\left( x-1 \right)}^{2}}\sqrt{x+3}}}_{<0}<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
Do đó $g\left( x \right)$ là hàm nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$.
Để $g\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m<\dfrac{f\left( x \right)}{48}+\dfrac{8\left( \sqrt{x+3}-2 \right)}{x-1},\forall x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow m\le \dfrac{f\left( 1 \right)}{48}+2$
Ta có $h'\left( x \right)=-1+\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}\xrightarrow{h'\left( x \right)=0}\sqrt{x+3}=2\Leftrightarrow x=1$
Lập bảng biến thiên ta có:
Mặt khác dựa vào đồ thị $f\left( x \right)$ ta thấy $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $f'\left( x \right)<0$
Do đó $g'\left( x \right)=\underbrace{\dfrac{f'\left( x \right)}{48}}_{<0}+8.\underbrace{\dfrac{h\left( x \right)}{2{{\left( x-1 \right)}^{2}}\sqrt{x+3}}}_{<0}<0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
Do đó $g\left( x \right)$ là hàm nghịch biến trên $\left( 0;1 \right)$.
Để $g\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m<\dfrac{f\left( x \right)}{48}+\dfrac{8\left( \sqrt{x+3}-2 \right)}{x-1},\forall x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow m\le \dfrac{f\left( 1 \right)}{48}+2$
Đáp án C.