Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

Ta có ${y}'={{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{\prime }}{f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=\left( 2x-2 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)$.
Khi đó ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-2=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2x-2=0 \\
& {{x}^{2}}-2x=-2 \\
& {{x}^{2}}-2x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Tại $x=1$ thì ${f}'\left( x \right)$ không đổi dấu nên ta không cần xét
Từ bảng xét dấu ta thấy ${f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-2 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó ${f}'\left( {{x}^{2}}-2x \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x<-2 \\
& {{x}^{2}}-2x>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có một cực tiểu.