Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là...

Bảng xét dấu $y'$

Ta có: $y'=\left( 2x+3 \right)f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)$
Vì $2x+3>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$. Do đó, để hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ thì $f'\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\ge 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\left( * \right)$
Đặt $t={{x}^{2}}+3x-m$. Vì $x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow t\in \left( -m;10-m \right)$
(*) trở thành: $f'\left( t \right)\ge 0,\forall t\in \left( -m;10-m \right)$
Dựa vào bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ ta có: $\left[ \begin{aligned}
& 10-m\le -3 \\
& 1\le -m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 13 \\
& m\le -1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& 13\le m\le 20 \\
& -10\le m\le -1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow m\in \left\{ -10;-9;...;-1;3;4;...;20 \right\}$