Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( x \right)+2{f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left[ 4{{x}^{2}}-2x-4-{f}'\left( x \right) \right]$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ bằng
A. $6$.
B. $10$.
C. $8$.
D. $4$.
A. $6$.
B. $10$.
C. $8$.
D. $4$.
Ta có:
$f\left( x \right)+2{f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left[ 4{{x}^{2}}-2x-4-{f}'\left( x \right) \right]$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)+\left( x+1 \right).{f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( 4{{x}^{2}}-2x-4 \right)$
$\Leftrightarrow \int{{{\left[ \left( x+1 \right).f\left( x \right) \right]}^{\prime }}\text{d}x}=\int{\left( 4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+4 \right)\text{d}x}$
$\Leftrightarrow \left( x+1 \right).f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+C$
Cho $x=-1$, ta có: $0=-2+C$ $\Leftrightarrow C=2$. Từ đó suy ra $\left( x+1 \right).f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+2$ hay $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2$. Do đó ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ là
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2=3{{x}^{2}}-6x+2$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=4 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ bằng
$\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right|\text{d}x}=8$
$f\left( x \right)+2{f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left[ 4{{x}^{2}}-2x-4-{f}'\left( x \right) \right]$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)+\left( x+1 \right).{f}'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( 4{{x}^{2}}-2x-4 \right)$
$\Leftrightarrow \int{{{\left[ \left( x+1 \right).f\left( x \right) \right]}^{\prime }}\text{d}x}=\int{\left( 4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-2x+4 \right)\text{d}x}$
$\Leftrightarrow \left( x+1 \right).f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+C$
Cho $x=-1$, ta có: $0=-2+C$ $\Leftrightarrow C=2$. Từ đó suy ra $\left( x+1 \right).f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x+2$ hay $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2$. Do đó ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ là
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+2=3{{x}^{2}}-6x+2$ $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=4 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right)$ và $y={f}'\left( x \right)$ bằng
$\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x \right|\text{d}x}=8$
Đáp án C.