Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Đặt $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-\left( 12{{x}^{3}}-24x \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12{{x}^{5}}-12{{x}^{3}}-24x$
$=-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).{f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+12x\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}-2 \right)$
$=-12x\left( {{x}^{2}}-2 \right).\left[ {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]$.
Khi đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)=0 \\
& {{x}^{2}}-2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{2} \\
& {f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)={{x}^{2}}+1 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6=-{{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-2\le -2,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó ${f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)\le {f}'\left( -2 \right)=0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Mà ${{x}^{2}}+1\ge 1,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó phương trình ${f}'\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)={{x}^{2}}+1$ vô nghiệm.
Hàm số $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Suy ra hàm số $g\left( x \right)=3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}}$ có 3 điểm cực tiểu.
Mà $g\left( 0 \right)=3f\left( -6 \right)<0$
Vậy $y=\left| 3f\left( -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-6 \right)+2{{x}^{6}}-3{{x}^{4}}-12{{x}^{2}} \right|$ có 5 điểm cực trị.