Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$. Biết rằng $f\left( x \right)>0;\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f'\left( x \right)+\left( 2x+3 \right){{f}^{2}}\left( x \right)=0,f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{6}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{f\left( x \right)}$ trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ ?
A. 20
B. 5
C. 2
D. 6
A. 20
B. 5
C. 2
D. 6
Ta có $f'\left( x \right)+\left( 2x+3 \right){{f}^{2}}\left( x \right)=0$
$\Rightarrow -\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x+3\Rightarrow -\int{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\int{\left( 2x+3 \right)dx\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+3x+C}}$
Mà $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{6}\Rightarrow 6=4+C\Rightarrow C=2\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+3x+2$
Khi đó $g\left( x \right)=\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+3x+2$
Ta có $g'\left( x \right)=2x+3>0,\forall x\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm tổng số đồng biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$
$\Rightarrow g\left( 1 \right)\le g\left( x \right)\le g\left( 3 \right),\forall x\in \left[ 1;3 \right]$. Vậy $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=6$, đạt được khi $x=1$
$\Rightarrow -\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x+3\Rightarrow -\int{\dfrac{f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx=\int{\left( 2x+3 \right)dx\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+3x+C}}$
Mà $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{6}\Rightarrow 6=4+C\Rightarrow C=2\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+3x+2$
Khi đó $g\left( x \right)=\dfrac{1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+3x+2$
Ta có $g'\left( x \right)=2x+3>0,\forall x\in \left[ 1;3 \right]\Rightarrow g\left( x \right)$ là hàm tổng số đồng biến trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$
$\Rightarrow g\left( 1 \right)\le g\left( x \right)\le g\left( 3 \right),\forall x\in \left[ 1;3 \right]$. Vậy $\underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 1 \right)=6$, đạt được khi $x=1$
Đáp án D.