Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ -3;3 \right]$ và đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Biết $f(1)=6$ và $g(x)=f(x)-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}$.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình $g(x)=0$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
B. Phương trình $g(x)=0$ không có nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
C. Phương trình $g(x)=0$ có đúng một nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
D. Phương trình $g(x)=0$ có đúng ba nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)$.
Vẽ đường thẳng $y=x+1$ trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ (như hình vẽ bên).
Từ đồ thị ta thấy: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)>0$, $\forall x\in \left( -3;1 \right)$ (do đường cong nằm phía trên đường thẳng), ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)<0$, $\forall x\in \left( 1;3 \right)$ (do đường cong nằm phía dưới đường thẳng).
Ta có: $g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\dfrac{{{\left( 1+1 \right)}^{2}}}{2}$ $=6-2=4$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích ${{S}_{1}}$ lớn hơn $4$ (trong phần bên trái có nhiều hơn 4 ô, mỗi ô có diện tích bằng $1$ ), do đó:
$4<{{S}_{1}}=\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)\text{d}x}$ $\Leftrightarrow 4<\left. g\left( x \right) \right|_{-3}^{1}$ $\Leftrightarrow 4<g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)$ $\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<0$.
Mặt khác: diện tích $=R\tan 30{}^\circ $ nhỏ hơn $4$ (trong phần bên phải có ít hơn $4$ ô), do đó:
$4>{{S}_{2}}=-\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)\text{d}x}$ $\Leftrightarrow 4>-\left. g\left( x \right) \right|_{1}^{3}$ $\Leftrightarrow 4>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>0$.
Vậy phương trình $g\left( x \right)=0$ có đúng một nghiệm thuộc đoạn $\left[ -3;3 \right]$ (nghiệm này nằm trong khoảng $\left( -3;1 \right)$ ).
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình $g(x)=0$ có đúng hai nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
B. Phương trình $g(x)=0$ không có nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
C. Phương trình $g(x)=0$ có đúng một nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
D. Phương trình $g(x)=0$ có đúng ba nghiệm thuộc $\left[ -3;3 \right]$.
Ta có: $g\left( x \right)=f\left( x \right)-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)$.
Vẽ đường thẳng $y=x+1$ trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ (như hình vẽ bên).
Từ đồ thị ta thấy: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)>0$, $\forall x\in \left( -3;1 \right)$ (do đường cong nằm phía trên đường thẳng), ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)<0$, $\forall x\in \left( 1;3 \right)$ (do đường cong nằm phía dưới đường thẳng).
Ta có: $g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\dfrac{{{\left( 1+1 \right)}^{2}}}{2}$ $=6-2=4$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích ${{S}_{1}}$ lớn hơn $4$ (trong phần bên trái có nhiều hơn 4 ô, mỗi ô có diện tích bằng $1$ ), do đó:
$4<{{S}_{1}}=\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)\text{d}x}$ $\Leftrightarrow 4<\left. g\left( x \right) \right|_{-3}^{1}$ $\Leftrightarrow 4<g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)$ $\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<0$.
Mặt khác: diện tích $=R\tan 30{}^\circ $ nhỏ hơn $4$ (trong phần bên phải có ít hơn $4$ ô), do đó:
$4>{{S}_{2}}=-\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)\text{d}x}$ $\Leftrightarrow 4>-\left. g\left( x \right) \right|_{1}^{3}$ $\Leftrightarrow 4>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)$ $\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>0$.
Vậy phương trình $g\left( x \right)=0$ có đúng một nghiệm thuộc đoạn $\left[ -3;3 \right]$ (nghiệm này nằm trong khoảng $\left( -3;1 \right)$ ).
Đáp án C.