Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Tính $I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{{f}'\left( 3-{{\ln }^{2}}x \right).\ln x}{x}dx}.$
A. $I=\dfrac{5}{2}.$
B. $I=1.$
C. $I=2.$
D. $I=5.$
Tính $I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{{f}'\left( 3-{{\ln }^{2}}x \right).\ln x}{x}dx}.$
A. $I=\dfrac{5}{2}.$
B. $I=1.$
C. $I=2.$
D. $I=5.$
Đặt $t=3-{{\ln }^{2}}x\Rightarrow dt=-\dfrac{2\ln x}{x}dx\Rightarrow \dfrac{\ln x}{x}dx=-\dfrac{1}{2}dt.$
Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=3$ và $x-{{e}^{2}}\Rightarrow t=-1.$
Do đó
$I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{{f}'\left( 3-{{\ln }^{2}}x \right).\ln x}{x}dx}=\int\limits_{3}^{-1}{-\dfrac{1}{2}{f}'\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}{{f}'\left( x \right)dx}=\left. \dfrac{1}{2}f\left( x \right) \right|_{-1}^{3}=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 3 \right)-f\left( -1 \right) \right]$
Từ đồ thị ta có $f\left( 3 \right)=1;f\left( -1 \right)=-4$. Suy ra $I=\dfrac{1}{2}\left[ 1-\left( -4 \right) \right]=\dfrac{5}{2}.$
Đổi cận: $x=1\Rightarrow t=3$ và $x-{{e}^{2}}\Rightarrow t=-1.$
Do đó
$I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\dfrac{{f}'\left( 3-{{\ln }^{2}}x \right).\ln x}{x}dx}=\int\limits_{3}^{-1}{-\dfrac{1}{2}{f}'\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}{{f}'\left( x \right)dx}=\left. \dfrac{1}{2}f\left( x \right) \right|_{-1}^{3}=\dfrac{1}{2}\left[ f\left( 3 \right)-f\left( -1 \right) \right]$
Từ đồ thị ta có $f\left( 3 \right)=1;f\left( -1 \right)=-4$. Suy ra $I=\dfrac{1}{2}\left[ 1-\left( -4 \right) \right]=\dfrac{5}{2}.$
Đáp án A.