Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=2{{x}^{2}}-x-3,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và tiếp tuyến của $F\left( x \right)$ tại điểm $M\left( 0;2 \right)$ có hệ số góc bằng 0. Khi đó $F\left( 1 \right)$ bằng
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $\dfrac{-7}{2}$.
C. $\dfrac{-1}{2}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
A. $\dfrac{7}{2}$.
B. $\dfrac{-7}{2}$.
C. $\dfrac{-1}{2}$.
D. $\dfrac{1}{2}$.
Vì tiếp tuyến của $F\left( x \right)$ tại điểm $M\left( 0;2 \right)$ có hệ số góc bằng 0 $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {F}'\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)=0 \\
& F\left( 0 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $f\left( x \right)=\int{{{f}'}}\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 2{{x}^{2}}-x-3 \right)\text{d}x}=\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x+C$.
Do $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0$.
Vậy $f\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x$.
Mà $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 1 \right)-F\left( 0 \right)$
Suy ra $F\left( 1 \right)=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}+F\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x \right)}\ \text{d}x+2=\dfrac{1}{2}$.
& {F}'\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)=0 \\
& F\left( 0 \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: $f\left( x \right)=\int{{{f}'}}\left( x \right)\text{d}x=\int{\left( 2{{x}^{2}}-x-3 \right)\text{d}x}=\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x+C$.
Do $f\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0$.
Vậy $f\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x$.
Mà $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 1 \right)-F\left( 0 \right)$
Suy ra $F\left( 1 \right)=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}+F\left( 0 \right)=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{2{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x \right)}\ \text{d}x+2=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án D.