Google
Câu hỏi: Cho hàm số $F\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ -1 ; 3 \right]$, $F\left( 3 \right)=1$ và $\int\limits_{-1}^{3}{F\left( x \right)\text{d}x}=6$. Gọi $f\left( x \right)$ là đạo hàm của hàm số $F\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1 ; 3 \right]$. Giá trị của $\int\limits_{0}^{2}{xf\left( 2x-1 \right)\text{d}x}$ bằng
A. 2.
B. $-1$.
C. $-2$.
D. $-\dfrac{1}{2}$.
A. 2.
B. $-1$.
C. $-2$.
D. $-\dfrac{1}{2}$.
Ta có: $\int\limits_{0}^{2}{xf\left( 2x-1 \right)\text{d}x}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{xf\left( 2x-1 \right)\text{d}\left( 2x-1 \right)}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{-1}^{3}{\left( t+1 \right)f\left( t \right)\text{d}t}$ $=\dfrac{1}{4}\int\limits_{-1}^{3}{\left( t+1 \right)\text{d}\left( F\left( t \right) \right)}$ $=\dfrac{1}{4}\left. \left( t+1 \right)F\left( t \right) \right|_{-1}^{3}-\dfrac{1}{4}\int\limits_{-1}^{3}{F\left( t \right)\text{dt}}$ $=\dfrac{1}{4}\left. \left( t+1 \right)F\left( t \right) \right|_{-1}^{3}-\dfrac{1}{4}\int\limits_{-1}^{3}{F\left( t \right)\text{dt}}=F\left( 3 \right)-\dfrac{1}{4}\int\limits_{-1}^{3}{F\left( t \right)\text{dt}}=-\dfrac{1}{2}$.
Đáp án D.