Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=6x-{{e}^{x}},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=-2$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=-1$, khi đó $F\left( 1 \right)$ bằng
A. $1-e$.
B. $2e$.
C. $\dfrac{1}{e}$.
D. $e$.
A. $1-e$.
B. $2e$.
C. $\dfrac{1}{e}$.
D. $e$.
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 6x-{{e}^{x}} \right)\text{d}x}=3{{x}^{2}}-{{e}^{x}}+{{C}_{1}}$.
Mà $f\left( 0 \right)=-2$ nên ${{C}_{1}}=-1$. Suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-{{e}^{x}}-1$.
Lại có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 3{{x}^{2}}-{{e}^{x}}-1 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}-{{e}^{x}}-x+{{C}_{2}}$.
Hơn nữa, $F\left( 0 \right)=-1\Leftrightarrow -1+{{C}_{2}}=-1\Leftrightarrow {{C}_{2}}=0$.
$\Rightarrow F\left( x \right)={{x}^{3}}-{{e}^{x}}-x$.
Suy ra $F\left( 1 \right)={{1}^{3}}-{{e}^{1}}-1=e$.
Mà $f\left( 0 \right)=-2$ nên ${{C}_{1}}=-1$. Suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-{{e}^{x}}-1$.
Lại có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 3{{x}^{2}}-{{e}^{x}}-1 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}-{{e}^{x}}-x+{{C}_{2}}$.
Hơn nữa, $F\left( 0 \right)=-1\Leftrightarrow -1+{{C}_{2}}=-1\Leftrightarrow {{C}_{2}}=0$.
$\Rightarrow F\left( x \right)={{x}^{3}}-{{e}^{x}}-x$.
Suy ra $F\left( 1 \right)={{1}^{3}}-{{e}^{1}}-1=e$.
Đáp án D.