Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm là ${f}'\left( x \right)=6x+\sin x,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right)=3$, khi đó $F\left( \pi \right)$ bằng
A. $3{{\pi }^{3}}+\pi $.
B. $\dfrac{{{\pi }^{3}}}{3}+\pi +3$.
C. ${{\pi }^{3}}+\dfrac{\pi }{2}+3$.
D. ${{\pi }^{3}}+\pi +3$.
A. $3{{\pi }^{3}}+\pi $.
B. $\dfrac{{{\pi }^{3}}}{3}+\pi +3$.
C. ${{\pi }^{3}}+\dfrac{\pi }{2}+3$.
D. ${{\pi }^{3}}+\pi +3$.
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 6x+\sin x \right)\text{d}x}=3{{x}^{2}}-\cos x+{{C}_{1}}$.
Mà $f\left( 0 \right)=0$ nên ${{C}_{1}}=1$. Suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\cos x+1$.
Lại có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 3{{x}^{2}}-\cos x+1 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}-\sin x+x+{{C}_{2}}$.
Hơn nữa, $F\left( 0 \right)=3\Leftrightarrow {{C}_{2}}=3$.
$\Rightarrow F\left( x \right)={{x}^{3}}-\sin x+x+3$.
Suy ra $F\left( \pi \right)={{\pi }^{3}}-\sin \pi +\pi +3={{\pi }^{3}}+\pi +3$.
Mà $f\left( 0 \right)=0$ nên ${{C}_{1}}=1$. Suy ra $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-\cos x+1$.
Lại có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\left( 3{{x}^{2}}-\cos x+1 \right)\text{d}x}={{x}^{3}}-\sin x+x+{{C}_{2}}$.
Hơn nữa, $F\left( 0 \right)=3\Leftrightarrow {{C}_{2}}=3$.
$\Rightarrow F\left( x \right)={{x}^{3}}-\sin x+x+3$.
Suy ra $F\left( \pi \right)={{\pi }^{3}}-\sin \pi +\pi +3={{\pi }^{3}}+\pi +3$.
Đáp án D.