Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'(x)=\left( x-7...

Ta có ${f}'(x)=\left( x-7 \right)\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)$.
${f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=7 \\
& x=\pm 3 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow y=f(x)$ có 3 điểm cực trị.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}+5x}{\left| {{x}^{3}}+5x \right|}\cdot \left( 3{{x}^{2}}+5 \right){f}'\left( \left| {{x}^{3}}+5x \right|+m \right)=\dfrac{x\left( {{x}^{2}}+5 \right)}{\left| {{x}^{3}}+5x \right|}\cdot \left( 3{{x}^{2}}+5 \right){f}'\left( \left| {{x}^{3}}+5x \right|+m \right)$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( \left| {{x}^{3}}+5x \right|+m \right)=0.$ Tại $x=0$ thì ${g}'(x)$ không xác định.
Để $g(x)$ có ít nhất 3 điểm cực trị thì phương trình ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+5x \right|+m \right)=0$ có ít nhất 2 nghiệm bội lẻ khác 0. Ta có
${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+5x \right|+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\left| {{x}^{3}}+5x \right|+m=7 \\
\left| {{x}^{3}}+5x \right|+m=3 \\
\left| {{x}^{3}}+5x \right|+m=-3 \\
\end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
\left| {{x}^{3}}+5x \right|=-m+7 \\
\left| {{x}^{3}}+5x \right|=-m+3 \\
\left| {{x}^{3}}+5x \right|=-m-3 \\
\end{array} \right.$.
Xét hàm số $y=\left| {{x}^{3}}+5x \right|$ có đồ thị như hình vẽ
Khi đó, phương trình ${f}'\left( \left| {{x}^{3}}+5x \right|+m \right)=0$ có ít nhất 2 nghiệm bội lẻ khác 0 khi $-m+7>0\Leftrightarrow m<7$. Vì $m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\Rightarrow m\in \left\{ 1, 2, ...,6 \right\}$. Vậy có 6 giá trị của $m$.