Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số ${m \in [ - 5 ; 5 ]}$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có 3 điểm cực trị?
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $6$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $6$.
Do hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Suy ra $g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)$ là một số hữu hạn.
Xét trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ : $g\left( x \right)=f\left( x \right)$
$g\prime \left( x \right)=f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}$
$g\prime \left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{5}}=0$ $\Leftrightarrow x=m$
- TH1: $m=0$ thì $x=0$. Khi đó $x=0$ là nghiệm bội lẻ của $g\prime \left( x \right)$ nên $g\prime \left( x \right)$ đổi dấu một lần qua $x=0$ suy ra hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất một điểm cực trị là $x=0$.
- TH2: $m<0$ thì $g\prime \left( x \right)$ vô nghiệm, suy ra $g\prime \left( x \right)>0$ với mọi $x>0$
Hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có duy nhất một điểm cực trị là $x=0$.
- TH 3: $m>0$ thì $x=m$ là nghiệm bội lẻ của $g\prime \left( x \right)$
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ :
- Lại có ${m \in [ - 5 ; 5 ]}$ và $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$.
Xét trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ : $g\left( x \right)=f\left( x \right)$
$g\prime \left( x \right)=f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}$
$g\prime \left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{5}}=0$ $\Leftrightarrow x=m$
- TH1: $m=0$ thì $x=0$. Khi đó $x=0$ là nghiệm bội lẻ của $g\prime \left( x \right)$ nên $g\prime \left( x \right)$ đổi dấu một lần qua $x=0$ suy ra hàm số $g\left( x \right)$ có duy nhất một điểm cực trị là $x=0$.
- TH2: $m<0$ thì $g\prime \left( x \right)$ vô nghiệm, suy ra $g\prime \left( x \right)>0$ với mọi $x>0$
Hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có duy nhất một điểm cực trị là $x=0$.
- TH 3: $m>0$ thì $x=m$ là nghiệm bội lẻ của $g\prime \left( x \right)$
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ :
- Lại có ${m \in [ - 5 ; 5 ]}$ và $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$.
Vậy có 5 giá trị nguyên của $m$.
Đáp án A.