Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)={{x}^{2018}}\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+mx+5 \right)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Số giá trị nguyên âm của m để hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ là:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 7.
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 7.
Ta có ${g}'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right).{f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)$.
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2018}}\left( {{x}^{2}}+x \right)\left( {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+m\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)+5 \right)\ge \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+m\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)+5\ge 0 \left( 1 \right) \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
Đặt $t={{x}^{2}}+x-2$, $x\in \left( 1;+\infty \right)\Rightarrow t>0$.
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành ${{t}^{2}}+mt+5\ge 0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow t+\dfrac{5}{t}\ge -m \left( 2 \right) , \forall t\in \left( 0;+\infty \right)$.
Để $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có $h\left( t \right)=t+\dfrac{5}{t}\ge 2\sqrt{5}$ với $\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$. Dấu bằng xảy ra khi $t=\dfrac{5}{t}\Leftrightarrow t=\sqrt{5}$.
Suy ra $\underset{t\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{Min}} \left( h\left( t \right) \right)=2\sqrt{5}$.
Lúc đó $\left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow -m\le 2\sqrt{5}\Leftrightarrow m\ge -2\sqrt{5}$.
Mà $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$ nên $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$. Vậy có 4 giá trị m cần tìm.
Để hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow {g}'\left( x \right)\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2018}}\left( {{x}^{2}}+x \right)\left( {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+m\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)+5 \right)\ge \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{2}}+m\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)+5\ge 0 \left( 1 \right) \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
Đặt $t={{x}^{2}}+x-2$, $x\in \left( 1;+\infty \right)\Rightarrow t>0$.
Khi đó $\left( 1 \right)$ trở thành ${{t}^{2}}+mt+5\ge 0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow t+\dfrac{5}{t}\ge -m \left( 2 \right) , \forall t\in \left( 0;+\infty \right)$.
Để $\left( 1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;+\infty \right)$.
Ta có $h\left( t \right)=t+\dfrac{5}{t}\ge 2\sqrt{5}$ với $\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$. Dấu bằng xảy ra khi $t=\dfrac{5}{t}\Leftrightarrow t=\sqrt{5}$.
Suy ra $\underset{t\in \left( 0;+\infty \right)}{\mathop{Min}} \left( h\left( t \right) \right)=2\sqrt{5}$.
Lúc đó $\left( 2 \right)$ nghiệm đúng với mọi $t\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow -m\le 2\sqrt{5}\Leftrightarrow m\ge -2\sqrt{5}$.
Mà $m\in {{\mathbb{Z}}^{-}}$ nên $m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}$. Vậy có 4 giá trị m cần tìm.
Đáp án B.