Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x...

Ta có ${f}'\left( x \right)=\left( x+2 \right){{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+m-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2 \\
& \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+m-2=0 \\
\end{aligned} \right.$

Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng 7 cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=f\left( x \right)$ có đúng 3 điểm cực trị dương. Từ đó yêu cầu bài toán tương đương với ${f}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt và ${f}'\left( x \right)$ đổi dấu khi qua 3 nghiệm này
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x+m-2=0$ có hai nghiệm đơn, dương phân biệt và khác 2.
Đặt $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-2\Rightarrow {y}'={{x}^{2}}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{3}{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm $y=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}x-2$ như sau:
Hơn nữa $y\left( 0 \right)=-2,$ yêu cầu đề bài tương đương
$\left\{ \begin{aligned}
& m\ne \dfrac{10}{3} \\
& \left[ \begin{aligned}
& -m=\dfrac{-79}{48} \\
& -2>-m>\dfrac{-17}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ne \dfrac{10}{3} \\
& \left[ \begin{aligned}
& -m=\dfrac{-79}{48} \\
& 2<m<\dfrac{17}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp với $m$ nguyên suy ra $m\in \left\{ 3;4 \right\}.$