Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+mx+9 \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$ ?
A. $6$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $8$.
A. $6$.
B. $7$.
C. $5$.
D. $8$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-{f}'\left( 3-x \right)=\left( x-3 \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9 \right)$.
$g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow $ ${g}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+mt+9\ge 0,\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$ (với $t=3-x$ ; $x\in \left( 3;+\infty \right)$ ta có $t\in \left( -\infty ;0 \right)$ ).
$\Leftrightarrow m\le -t-\dfrac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Ta có trên $\left( -\infty ;0 \right)$ ta có $-t$ và $-\dfrac{9}{t}$ đều là các số dương nên có $-t-\dfrac{9}{t}\ge 6$.
Vậy $m\le -t-\dfrac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow m\le 6$.
$g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow $ ${g}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( 3-x \right)}^{2}}+m\left( 3-x \right)+9\ge 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}+mt+9\ge 0,\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$ (với $t=3-x$ ; $x\in \left( 3;+\infty \right)$ ta có $t\in \left( -\infty ;0 \right)$ ).
$\Leftrightarrow m\le -t-\dfrac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Ta có trên $\left( -\infty ;0 \right)$ ta có $-t$ và $-\dfrac{9}{t}$ đều là các số dương nên có $-t-\dfrac{9}{t}\ge 6$.
Vậy $m\le -t-\dfrac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow m\le 6$.
Đáp án A.