Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{2}}+{{m}^{2}}-3m-4 \right)}^{3}}{{\left( x+3 \right)}^{5}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có đúng ba điểm cực trị?
A. $3$
B. $5$
C. $6$
D. $4$
A. $3$
B. $5$
C. $6$
D. $4$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)$ có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow f\left( x \right)$ có đúng một cực trị ${{x}_{1}}>0.$
Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{m}^{2}}-3m+4=0 \\
& x+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có đúng một cực trị ${{x}_{1}}>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+3m+4>0\Leftrightarrow -1<m<4$
Do đó, có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $0;1;2;3.$
Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{m}^{2}}-3m+4=0 \\
& x+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& {{x}^{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm số có đúng một cực trị ${{x}_{1}}>0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+3m+4>0\Leftrightarrow -1<m<4$
Do đó, có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $0;1;2;3.$
Đáp án D.