Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp 2 trên...

Hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp 2 trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right)$ và ${f}'\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}.$
Do đó, tập xác định của hàm số $g\left( x \right)$ là $D=\mathbb{R}.$
Ta có: ${g}'\left( x \right)={{f}'}'\left( x \right).{f}'\left( {f}'\left( x \right)-1 \right),{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{f}'}'\left( x \right)=0 \\
& {f}'\left( {f}'\left( x \right)-1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-1}{3} \\
& x=1 \\
& x={{x}_{0}}\in \left( 1\text{ ; 2} \right) \\
& {f}'\left( x \right)-1=-1 \\
& {f}'\left( x \right)-1=1 \\
& {f}'\left( x \right)-1=2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị ta cũng có:
${f}'\left( x \right)-1=-1\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right..$
${f}'\left( x \right)-1=1\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}}\in \left( -\infty \text{ ; -1} \right) \\
& x={{x}_{2}}\in \left( \text{2 ; +}\infty \right) \\
\end{aligned} \right..$
${f}'\left( x \right)-1=2\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{3}}\in \left( -\infty \text{ ; }{{x}_{1}} \right) \\
& x={{x}_{4}}\in \left( {{x}_{2}}\text{ ; +}\infty \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 9 nghiệm.