Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ như sau:
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{{{x}^{2}}-2x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi:
A. $m>f\left( 0 \right)-1.$
B. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( 0 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Bất phương trình $f\left( x \right)<{{e}^{{{x}^{2}}-2x}}+m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ khi và chỉ khi:
A. $m>f\left( 0 \right)-1.$
B. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
C. $m\ge f\left( 0 \right)-1.$
D. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}.$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-{{e}^{{{x}^{2}}-2x}},x\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}$.
Với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>0 \\
& -2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$.
Khi đó $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}$.
Với mọi $x\in \left( 0;1 \right)$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( x \right)>0 \\
& -2\left( x-1 \right){{e}^{{{x}^{2}}-2x}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$.
$\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;1 \right)$.
Khi đó $m>g\left( x \right),\forall x\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow m\ge g\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{e}$.
Đáp án D.