Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau.
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)-m}$ có đúng 3 tiệm cận đứng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=\dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)-m}$ có đúng 3 tiệm cận đứng?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có $\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)-m}=+\infty $ nên $\forall m$, đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ luôn có một tiệm cận đứng $x=2$.
Mặt khác, từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ thì phương trình $f\left( x \right)-m=0$ tối đa 2 nghiệm.
Vậy để đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có đúng 3 tiệm cận đứng thì điều kiện cần là phương trình $f\left( x \right)=m$ có đúng 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khác 2 $\Leftrightarrow 3<m<6$.
Khi đó $\underset{x\to x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)-m}=+\infty ,\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)-m}=+\infty $ nên đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có 2 tiệm cận đứng là đường thẳng $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{2}}$.
Vậy với $3<m<6$ thì đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có đúng 3 tiệm cận đứng. Do m nguyên nên có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán là $m=4$ và $m=5$.
Mặt khác, từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ thì phương trình $f\left( x \right)-m=0$ tối đa 2 nghiệm.
Vậy để đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có đúng 3 tiệm cận đứng thì điều kiện cần là phương trình $f\left( x \right)=m$ có đúng 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ khác 2 $\Leftrightarrow 3<m<6$.
Khi đó $\underset{x\to x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)-m}=+\infty ,\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=\underset{x\to x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{f\left( x \right)-m}=+\infty $ nên đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có 2 tiệm cận đứng là đường thẳng $x={{x}_{1}}$ và $x={{x}_{2}}$.
Vậy với $3<m<6$ thì đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$ có đúng 3 tiệm cận đứng. Do m nguyên nên có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán là $m=4$ và $m=5$.
Đáp án B.