Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Từ bảng biến thiên ta có:
- Hàm số $y=f\left(x\right)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1\}$, suy ra hàm số không đạt cực trị tại $x=-1$.
Do đó các mệnh đề ở đáp án B và C là các mệnh đề sai.
- Hàm số không có điểm cực đại nên không có giá trị cự đại bằng 1.
Do đó mệnh đề ở đáp án D là mệnh đề sai.
- Tại $x=2$ thì $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và đổi dấu từ âm sang dương nên $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số và dễ thấy hàm số không có điểm cực đại, suy ra mệnh đề ở đáp án A đúng.
Vậy mệnh đề của đáp án A là đúng.