Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình. Hàm...

Hàm số $h\left( x \right)={{e}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}-{{3}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
Ta có ${h}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)\left( f\left( x \right)-6 \right)\left( {{e}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}-{{3}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}\ln 3 \right)$
Cho ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=0,\left( 1 \right) \\
& f\left( x \right)=6,\left( 2 \right) \\
& {{e}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}-{{3}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}\ln 3=0,\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên đã cho, ta có các kết quả sau:

• $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x=-2\vee x=3$

• $\left( 2 \right)\Leftrightarrow x={{a}_{1}}\vee x={{a}_{2}}\vee x={{a}_{3}}$, với ${{a}_{1}}\in \left( -\infty ;-2 \right),{{a}_{2}}\in \left( -2;3 \right),{{a}_{3}}\in \left( 3;+\infty \right)$

• $\left( 3 \right)\Leftrightarrow {{e}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}-{{3}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}\ln 3\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{e}{3} \right)}^{{{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)}}=\ln 3\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-6f\left( x \right)={{\log }_{\dfrac{e}{3}}}\left( \ln 3 \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\approx 5,8365\Rightarrow x={{b}_{1}}\in \left( -\infty ;{{a}_{1}} \right) \\
& f\left( x \right)\approx 0,1634\Rightarrow x={{b}_{2}}\in \left( {{a}_{3}};+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Như vậy phương trình ${h}'\left( x \right)=0$ có 7 nghiệm thứ tự là ${{b}_{1}}<{{a}_{1}}<-2<{{a}_{2}}<3<{{a}_{3}}<{{b}_{2}}.$
Vậy hàm số có tất cả 7 điểm cực trị.