Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biết hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trên đoạn $\left[ -4;3 \right]$, hàm số $g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}$ có giá trị nhỏ nhất bằng
A. $2f\left( -4 \right)+25$.
B. $2f\left( 3 \right)+4$.
C. $2f\left( 1 \right)+4$.
D. $2f\left( -1 \right)+4$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{f}'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=1-x$.
Nhận thấy đường thẳng $y=1-x$ cắt đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là $A\left( -4 ; 5 \right)$, $B\left( -1 ; 2 \right)$ và $C\left( 3 ; -2 \right)$.
Suy ra phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt: ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ trên$ \left[ -4;3 \right]$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right)$ trên $\left[ -4;3 \right]$ là $g\left( -1 \right)=2f\left( -1 \right)+4$.
A. $2f\left( -4 \right)+25$.
B. $2f\left( 3 \right)+4$.
C. $2f\left( 1 \right)+4$.
D. $2f\left( -1 \right)+4$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)$ $\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{f}'\left( x \right)-2\left( 1-x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=1-x$.
Nhận thấy đường thẳng $y=1-x$ cắt đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ tại 3 điểm phân biệt có tọa độ lần lượt là $A\left( -4 ; 5 \right)$, $B\left( -1 ; 2 \right)$ và $C\left( 3 ; -2 \right)$.
Suy ra phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt: ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-4 \\
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ trên$ \left[ -4;3 \right]$.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right)$ trên $\left[ -4;3 \right]$ là $g\left( -1 \right)=2f\left( -1 \right)+4$.
Đáp án D.