Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức $\int{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int{{{\pi }^{x}}\cos xdx}.$ Hỏi hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. $f\left( x \right)=-{{\pi }^{x}}\ln \pi .$
B. $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }.$
C. $f\left( x \right)={{\pi }^{x}}\ln \pi .$
D. $f\left( x \right)=-\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }.$
A. $f\left( x \right)=-{{\pi }^{x}}\ln \pi .$
B. $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }.$
C. $f\left( x \right)={{\pi }^{x}}\ln \pi .$
D. $f\left( x \right)=-\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }.$
Hệ thức $\int{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int{{{\pi }^{x}}\cos xdx}(1).$
Xét $\int{f\left( x \right)\sin xdx}.$ Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right)\Rightarrow du={f}'\left( x \right) \\
& dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x \\
\end{aligned} \right..$
Ta được $\int{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int{{f}'\left( x \right)\cos xdx}.$
Theo hệ thức (1), suy ra ${f}'\left( x \right)={{\pi }^{x}}.$
Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }.$
Xét $\int{f\left( x \right)\sin xdx}.$ Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right)\Rightarrow du={f}'\left( x \right) \\
& dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x \\
\end{aligned} \right..$
Ta được $\int{f\left( x \right)\sin xdx}=-f\left( x \right)\cos x+\int{{f}'\left( x \right)\cos xdx}.$
Theo hệ thức (1), suy ra ${f}'\left( x \right)={{\pi }^{x}}.$
Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa mãn là $f\left( x \right)=\dfrac{{{\pi }^{x}}}{\ln \pi }.$
Đáp án B.