Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị $\left( C \right)$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-1$. Tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $\left( C \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại $2$ điểm khác có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ là diện tích các phần hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $\left( C \right)$. Tỷ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{1}{14}$
B. $\dfrac{1}{28}$
C. $\dfrac{2}{25}$
D. $\dfrac{1}{5}$
A. $\dfrac{1}{14}$
B. $\dfrac{1}{28}$
C. $\dfrac{2}{25}$
D. $\dfrac{1}{5}$
Giả sử phương trình tiếp tuyến là $y=g\left( x \right)$.
Do tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $\left( C \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại $2$ điểm khác có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$ nên ta có phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là:
$f\left( x \right)-g\left( x \right)=ax{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{S}_{1}}=\left| \int\limits_{-1}^{0}{ax{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)} \text{d}x \right|=\dfrac{\left| a \right|}{5}$ ; ${{S}_{2}}=\left| \int\limits_{0}^{2}{ax{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)} \text{d}x \right|=\dfrac{28\left| a \right|}{5}$.
Suy ra $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{1}{28}$.
Do tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $\left( C \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại $2$ điểm khác có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$ nên ta có phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là:
$f\left( x \right)-g\left( x \right)=ax{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{S}_{1}}=\left| \int\limits_{-1}^{0}{ax{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)} \text{d}x \right|=\dfrac{\left| a \right|}{5}$ ; ${{S}_{2}}=\left| \int\limits_{0}^{2}{ax{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)} \text{d}x \right|=\dfrac{28\left| a \right|}{5}$.
Suy ra $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{1}{28}$.
Đáp án B.
