Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c (a>0)$ có...

Từ đồ thị của hàm số $y=\left| f'\left( x \right) \right|$ và $a>0$ ta dễ dàng có được đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như sau:
Ta có
$f'\left( x \right)=4a{{x}^{3}}+2bx$. Đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ đi qua $\left( 1;0 \right),\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{-8\sqrt{3}}{9} \right)$ ta tìm được $a=1;b=-2\Rightarrow f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+C$.
Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0;x=\pm 1$. Do (C) đối xứng qua trục tung nên (C) tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm $\left( 1;0 \right),\left( -1;0 \right)$.
Do đó: $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1.$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$
$S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right|}dx=\dfrac{16}{15}.$