Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\left(...

Từ đồ thị suy ra ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3.$
Ta có $f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx=\int{\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)dx={{x}^{2}}-3x+C}}$
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ ${{x}_{0}}<0$
Nên $\left\{ \begin{aligned}
& {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\
& f\left( {{x}_{0}} \right)=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3x_{0}^{2}-3=0 \\
& x_{0}^{3}-3{{x}_{0}}+C=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1 \\
& C=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( C \right):y={{x}^{3}}-3x+2$
Xét phương trình ${{x}^{3}}-3x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right. $ và $ {{x}^{3}}-3x+2\ge 0,\forall x\in \left[ -2;1 \right]$
Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}-3x+2 \right|dx=\int\limits_{-2}^{1}{\left( {{x}^{3}}-3x+2 \right)dx=\dfrac{27}{4}.}}$